Sa 31.05.2008 15:40
Peter Fleissner an Wolfgang Hoss und Bodo Vögele

Sehr geehrter Herr Hoss, sehr geehrter Herr Vögele,

Endlich habe ich Zeit gefunden, Ihre Ausführungen zu kommentieren.

Zunächst möchte ich Herrn Vögeles Einschätzung der Rolle der Mathematik hinterfragen. Mathematik ist meiner Auffassung nach eine spezielle Form der gedanklichen Widerspiegelung der Welt, und wie jede Widerspiegelung gleichzeitig Abbild und Entwurf der uns gegebenen Welt. Diese Eigenschaft hat sie mit der Philosophie, mit Einzelwissenschaften, mit Kunst und Religion gemeinsam. Alle Widerspiegelung enthält qualitative, aber auch quantitative Aspekte der Beschreibung (so auch die Mathematik, in der neu entwickelte Qualitäten wie z.B. der Differenzialquotient zur Entwicklung der Physik entscheidend beigetragen haben. Der Differenzialquotient stellt die dialektische Einheit von Ruhe und Bewegung dar und erlaubt es, z.B. den Begriff „Geschwindigkeit“ auszudrücken, aber auch als erste Ableitung der Geschwindigkeit den Begriff „Beschleunigung“). Natürlich hängt die Bedeutung einer Wissenschaft immer vom Problem ab, das mann behandeln will. Wenn Sie philosophische Fragen behandeln wollen, ist die Mathematik vielleicht nicht so wichtig, wenn Sie aber die Dynamik einer Volkswirtschaft mit empirischen Kennziffern beschreiben wollen, werden Mathematik und Statistik immer wichtiger. Mathematisch-statistische Simulationen, die im Rahmen der Wissenschaftsgeschichte dank der modernen Rechentechnik immer mehr zu einem eigenen Erkenntnismittel par excellence geworden sind, ergänzen heute in vielen Disziplinen das bisher dominante Experiment.

Wenn Sie z.B. ein tieferes Verständnis des Zusammenspiels von Arbeitswerten und Produktionspreisen in ziemlich allgemeinen Fällen gewinnen wollen, ist eine mathematische Durchdringung sehr hilfreich (im speziellen mittels linearer Algebra/Matrizenrechnung). Komplexe Zusammenhänge werden viel leichter verständlich, und damit bietet die Mathematik nicht nur quantitative, sondern durchaus auch qualitative Einsichten. Wenn Sie etwa die Formel für die Arbeitswerte einer ganzen Wirtschaft w = n (E – A) hoch(-1) mit den mühsamen Arbeitswertberechungen im Kapital vergleichen, wird der Fortschritt durch modernere Mathematik unmittelbar sichtbar (w ist ein Zeilen-Vektor, der beliebig viele Elemente = Anzahl von Wirtschaftszweigen enthalten kann, n ist ein Zeilen-Vektor, der die neu hinzugefügte lebendige Arbeit beinhaltet, die Matrix A enthält den Stand der Technik nach den einzelnen Branchen, E, die Einheitsmatrix, und (…)hoch(-1) werden in der Matrizenrechnung genau beschrieben). Die Aussage der Gleichung, die nicht nur qualitativ, sondern auch gleichzeitig quantitativ empirisch überprüfbar wird (Input-Output-Tabellen stehen in allen entwickelten Volkswirtschaften zur Verfügung), lautet: Arbeitswerte hängen in einer genau definierten Art und Weise von der lebendigen Arbeit ab, aber auch von der verwendeten Technologie und der Verflechtung einer Wirtschaft über die Vorleistungen.

Produktionspreise nach Marx lassen sich in Matrixschreibweise leicht anschreiben, wenn mann analog zur Technologie A auch Konsumniveaus C berücksichtigt, wobei gleichgültig ist, ob gleiche oder ungleiche Mehrwertraten vorliegen. Marx berechnete die Produktionspreise pp wie folgt:

pp = w (A+C) (1+r)

Die Profitrate r wird nach Marx zu Arbeitswertpreisen bestimmt: 1+ r = (w 1) / [w (A+C) 1], wobei 1 ein Spaltenvektor ist, der aus lauter Einsen besteht.

pp = n (E – A) hoch(-1) (w 1) / [w (A+C) 1]

Hier sieht mann unmittelbar den richtigen Einwand von Bortkiewicz, dass die Inputpreise Arbeitswerten und die Outputpreise Produktionspreisen entsprechen, also unterschiedliche Preise zu Bewertung herangezogen werden.

Von Bortkiewicz geht davon aus, dass Input- und Outputpreise die gleichen sein müssen, was entweder zu einer Bestimmung der Produktionspreise ppb (b steht für Bortkiewicz) auf einen Schlag führt, indem Mann die sogenannte Eigenwertgleichung löst:

ppb = ppb (A+C) (1+rb)

Dabei lassen sich die relativen Preise ppb (bis auf einen konstanten Faktor) und die Profitrate rb gleichzeitig bestimmen. Die unendliche Vielfalt der Lösungen bezieht sich nur auf deren absolutes Niveau, aber nicht auf deren relative Verhältnisse. Durch die Nebenbedingung, die auch Marx voraussetzt, dass nämlich die Wertsumme gleich der Preissumme ist, werden die Produktionspreise auch absolut eindeutig bestimmt. Wie man sieht , sind nun die Inputpreise (rechte Seite der Gleichung) und Outputpreise (linke Seite der Gleichung) identisch.

Diese Lösung ppb lässt sich aber auch iterativ erreichen, indem man das Marx’sche Verfahren immer wieder auf sein Ergebnis anwendet: In Formeln

ppb[ i+1 ] = ppb[ i ] (A+C) (1+rb[ i ])

1+ rb[ i ] = (ppb[ i ] 1) / [ppb[ i ] (A+C) 1]

ppb[ 0 ] = w

Dieses Verfahren konvergiert gegen die Lösung von Bortkiewicz, die Marxsche Lösung ist einfach die erste Iteration mit dem Iterationsindex i = 1. Damit lässt sich die Transformation aus Arbeitswerten in Produktionspreise schön nachvollziehen, die bei der obigen Eigenwert- und Eigenvektorgleichung verloren gehen würde und damit die Frage, was Preise eigentlich sind, nicht mehr zu beantwortenerlauben würde.

Wenn Sie nun etwa die Marxsche Theorie empirisch testen wollen (ob z.B. die Produktionspreise in der Nähe der beobachteten Preise liegen), kommen Sie mit verbalen Methoden nicht weiter. Erst mit den Mitteln der Statistik und Mathematik kann ich z.B. für Österreich 2003 bei 57 Wirtschaftssektoren beweisen, dass eine spezielle Form der Produktionspreise den Ist-Preisen sehr ähnlich ist. Der sogenannte Korrelationskoeffizient ergibt in der 5. Iteration für Österreich einen Wert von 0.9537, ein Wert, der für übliche sozialwissenschaftliche Zusammenhänge sehr hoch ist und zeigt, dass die Marxsche Theorie durchaus empirisch herzeigbar ist.

In meiner mail vom 17. Mai zeige ich auf der Basis mathematischer Einsichten, wie Arbeitswertpreise, Produktionspreise und alle anderen möglichen Preissysteme zusammenhängen – ich denke, das wäre ohne Mathematik unmöglich. Die folgende Grafik gibt genauere Einsichten (dies sind reale Daten aus Österreich 1976 für 3 Sektoren) in Arbeitswertpreise, Produktionspreise und Ist-Preise. Die Punkte der Preisvektoren liegen wegen der Bedingung Wertsumme = Preissumme immer auf einer Hyperebene, die für 3 Dimensionen nachstehend abgebildet ist. Man kann sehen, dass die observed prices (blauer Punkt) in der Nähe sowohl der produktion prices (gelber Punkt) als auch der Arbeitswerte (alle Sektoren) liegen.

Alle obigen Aussagen gelten für eine Wirtschaft, in der alle Sektoren als Wert bildend angenommen sind, was in Wirklichkeit in Österreich für etwa 20 von 57 Sektoren nicht zutrifft, da sie Dienste erzeugen, die nicht zur Mehrwert- bzw. Mehrproduktbildung beitragen.

Eine Rechnung, die die Mehrwertraten verändert, ist meiner Meinung nach gar nicht nötig, denn das Transformationsproblem lässt sich nach obigen Verfahren sowohl für eine Wirtschaft mit ausgeglichenen Mehrwertraten als auch für unterschiedliche Mehrwertraten lösen.

Natürlich müssen alle Aussagen, die die Mathematik macht, auf soliden theoretischen Voraussetzungen beruhen, aber oft lassen sich die Implikationen der theoretischen Voraussetzungen gedanklich gar nicht absehen. Hier hilft erst die Mathematik weiter.

Die Anmerkung von Herrn Hoss vom 20. Mai, dass „eine Tendenz zum Ausgleich der Profitraten in allen Branchen und Zweigen der Gesamtwirtschaft besteht, und es ist dies eine Annahme die kaum jemand bezweifeln wird“, wurde schon von Farjoun und Machover bereits vor 25 Jahren angezweifelt. Im Buch „Laws of Chaos“ zu dessen 25-jährigem Jubiläum im Juli 2008 eine Konferenz in Kingston/U.K. stattfindet (wo ich hinfahren und ein paper vortragen werde), wird die Marx’sche Annahme stark kritisiert (meiner Meinung nach nicht zu Unrecht, wobei aber die Tendenz zum Ausgleich aufrecht bleibt).

Beste Grüße, bin schon gespannt, was Sie sagen werden

Herzlich

Peter Fleissner